一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,甲、乙、丙三位同學(xué)在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題:
甲:函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
乙:若x1≠x2則一定有f(x1)≠f(x2);
丙:若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(f1(x)),則fn(x)=
x
1+nx
,對(duì)任意的n∈N*恒成立
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)有( 。
A、3個(gè)B、2個(gè)C、1個(gè)D、0個(gè)
分析:利用奇函數(shù)的定義判斷出f(x)為奇函數(shù),通過(guò)對(duì)x的分段討論去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),討論x≥0的值域、單調(diào)性判斷出甲、乙說(shuō)的對(duì)利用已知的遞推關(guān)系求出fn(x),判斷出丙的說(shuō)法不對(duì).
解答:解:∵f(-x)-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)
f(x)=
x
1+|x|
x
1+x
(x≥0)
x
1-x
(x<0)

當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0,1)

∵f(x)為奇函數(shù),
∴當(dāng)x<0是,f(x)∈(-1,0)
總之,f(x)∈(-1,1)
故甲對(duì)
當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0,1)
為增函數(shù),
∵f(x)為奇函數(shù)
∴當(dāng)x<0是,f(x)∈(-1,0)為增函數(shù)
所以f(x在(-1,1)上為增函數(shù)
故乙對(duì)
fn(x)=f(f1(x))=f(f(x)=
x
1+|x|
1+|
x
1+|x|
|
=
x
1+2|x|
=
x
1+nx
不恒成立
故丙不對(duì)
故選B
點(diǎn)評(píng):通過(guò)對(duì)自變量分段討論將含絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),解決分段函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題一般分段討論研究.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出了函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),則fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別依次對(duì)應(yīng)給出下列命題
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1);
②若x1≠x2,則一定有f (x1)≠f (x2);
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的題號(hào)是
①②③
①②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)在研究此函數(shù)時(shí)給出以下命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,1];     
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③對(duì)任意的x1,x2∈R,存在x0,使得f(x1)+f(x2)=2f(x0)成立;
④若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述命題中正確的是
②③
②③
.(請(qǐng)將正確命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)
,三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題:
①函數(shù)f(x)的值域?yàn)?span id="bc7blg0" class="MathJye">(-
1
2
,
1
2
);
②若x1≠x2,則一定有f(x1)≠f(x2);
③若規(guī)定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)), 則 fn(x)=
x
1+n|x|
對(duì)任意n∈N*恒成立.
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的是
 

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