Question

一次研究性課堂上，老師給出了函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同學(xué)甲、乙、丙在研究此函數(shù)時(shí)分別給出命題：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
③若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），則fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N*恒成立．
你認(rèn)為上述三個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)的解析式，我們可以判斷出函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)為奇函數(shù)，進(jìn)而分類討論后求出函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而可以判斷出①的真假；判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，可以判斷②的真假；利用數(shù)學(xué)歸納法證明fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N*是否恒成立，可以判斷③的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵f（-x）-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
∵f(x)=

x

1+|x|

=

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

x≥0時(shí)，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0是，f（x）∈（-1，0）
總之，f（x）∈（-1，1）
故甲對(duì)
當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)為增函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)
∴當(dāng)x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數(shù)
所以f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)
故當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，則一定有f（x₁）≠f（x₂）
故乙對(duì)
若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），
則當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=

x

1+|x|

，滿足fn(x)=

x

1+n|x|

設(shè)n=k時(shí)，滿足fk(x)=

x

1+k|x|

當(dāng)n=k+1時(shí)，f_K+1（x）=f（f_K（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

即fn(x)=

x

1+n|x|

對(duì)任意n∈N*恒成立
故丙對(duì)
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，數(shù)學(xué)歸納法，函數(shù)奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，是函數(shù)問題比較綜合的應(yīng)用，其中判斷出函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而簡(jiǎn)化判斷是解答本題的關(guān)鍵．