Question

已知a，b是不相等的正數(shù)，在a，b之間分別插入m個(gè)正數(shù)a1，a2， ，am和正數(shù)b1，b2， ，

bm，使a，a1，a2， ，am，b是等差數(shù)列，a，b1，b2， ，bm，b是等比數(shù)列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n (n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此時(shí)m的值；

（3）求證：an＞bn(n∈N*，n≤m)．

 

Answer 1

（1）;（2）最小值為4，此時(shí)為29;(3)詳見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意m＝5時(shí)，共有7項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，表示出，又由，可得到，解得;（2）由條件得，即，從而得，又由于，即，從而得，又題中有，可得， 化簡(jiǎn)消去a得：，觀察此式結(jié)構(gòu)特征：，則要求為有理數(shù)．即必須為有理數(shù)，而，可將用數(shù)字代入檢驗(yàn)： 若，則為無理數(shù)，不滿足條件; 同理，不滿足條件; 當(dāng)時(shí)，．要使為有理數(shù)，則必須為整數(shù)，要滿足 ，可解得;(3)可假設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)的和，我們易先證：若為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列;同理可證，若為遞減數(shù)列，則為遞減數(shù)列;由于a和b的大小關(guān)系不確定，故要對(duì)其分類討論：①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．即，即．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.043.png">，所以，即，即;②當(dāng)時(shí)，同理可求得．

試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，

則．

． 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.008.png">，所以，解得． 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.010.png">，所以，從而得．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.013.png">，所以，從而得．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.016.png">，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.049.png">，所以（*）． 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.019.png">，所以為有理數(shù)．

要使（*）成立，則必須為有理數(shù)．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.050.png">，所以．

若，則為無理數(shù)，不滿足條件．

同理，不滿足條件． 8分

當(dāng)時(shí)，．要使為有理數(shù)，則必須為整數(shù)．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.051.png">，所以僅有滿足條件．

所以，從而解得．

綜上，最小值為4，此時(shí)為29． 10分

(3)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)的和．

先證：若為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列．

證明：當(dāng)時(shí)，．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.055.png">，所以，即數(shù)列為遞增數(shù)列．

同理可證，若為遞減數(shù)列，則為遞減數(shù)列． 12分

①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．

即，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.043.png">，

所以，即，即．

②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

即．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907172491165792_DA/SYS201411171907172491165792_DA.061.png">，所以．以下同①．

綜上，． 16分

考點(diǎn)：1.等差，等比數(shù)列的基本運(yùn)算;2.函數(shù)的最值;3.代數(shù)式的處理