如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝，點(diǎn)M，N分別在線段PA和BD上，BN＝BD．

（1）若PM＝PA，求證：MN⊥AD；

（2）若二面角M－BD－A的大小為，求線段MN的長(zhǎng)度．

 

 

（1）詳見解析;（2）．

【解析】

試題分析：（1）由于這是一個(gè)正四棱錐，故易建立空間坐標(biāo)系，易得各點(diǎn)的坐標(biāo)，由，得，由，得，即可求得向量的坐標(biāo)： ．不難計(jì)算出它們的數(shù)量積，問(wèn)題得證;（2）利用在上，可設(shè)，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，進(jìn)而求出平面的法向量n＝(λ－1，0，λ)，由向量的夾角公式可得，解得，從而確定出，由兩點(diǎn)間距離公式得.

試題解析：證明：連接交于點(diǎn)，以為軸正方向，以為軸正方向，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907200462864548_DA/SYS201411171907200462864548_DA.025.png">，則．

（1）由，得，由，得，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907200462864548_DA/SYS201411171907200462864548_DA.007.png">．所以. 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907200462864548_DA/SYS201411171907200462864548_DA.008.png">在上，可設(shè)，得．

所以．

設(shè)平面的法向量，

由得

其中一組解為，所以可取n＝(λ－1，0，λ). 8分

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719070770197007/SYS201411171907200462864548_DA/SYS201411171907200462864548_DA.032.png">的法向量為，

所以，解得，

從而，

所以. 10分

考點(diǎn)：1.線線垂直的證明;2.二面角的計(jì)算

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q都在曲線C：（θ為參數(shù)）上，且這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為θ＝α與θ＝2α(0＜α＜2π)，設(shè)PQ的中點(diǎn)M與定點(diǎn)A(1，0)間的距離為d，求d的取值范圍．

 

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已知函數(shù)對(duì)任意的滿足，且當(dāng)時(shí)，．若有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．

 

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已知a，b是不相等的正數(shù)，在a，b之間分別插入m個(gè)正數(shù)a1，a2， ，am和正數(shù)b1，b2， ，

bm，使a，a1，a2， ，am，b是等差數(shù)列，a，b1，b2， ，bm，b是等比數(shù)列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n (n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此時(shí)m的值；

（3）求證：an＞bn(n∈N*，n≤m)．

 

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袋中裝有大小和形狀相同的小球若干個(gè)黑球和白球，且黑球和白球的個(gè)數(shù)比為４:３,從中任取2個(gè)球都是白球的概率為現(xiàn)不放回從袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù).

（1）求袋中原有白球、黑球的個(gè)數(shù)；

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如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點(diǎn)，已知AB=AC=AA1=4，?BAC=90?.

（1）求證：⊥平面；

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（3）求三棱錐的體積.

 

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