Question

已知：向量，O為坐標原點，動點M滿足：.

(1)  求動點 M 的軌跡 C 的方程；

（2）已知直線、都過點，且，、與軌跡C分別交于點D、E.是否存在這樣的直線、,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

設點，則         ……  1分

∵  

∴   ……… ……… ………  2分

∴點 M 的軌跡C是以為焦點，長軸長為 4 的橢圓……… ……  ……… 4分

∴   ∴    

∴  動點M 的軌跡 C的方程為    ………  ………  ………  6分

 

  

 

(2)由（1）知，軌跡C是橢圓，點是它的上頂點，             

設滿足條件的直線、存在，直線的方程為  ①

則直線的方程為，② ………  ………  ……… 7分

將①代入橢圓方程并整理得：，可得，則.

將②代入橢圓方程并整理得：，可得，則.

由△BDE是等腰直角三角形得

  …………11分

∴或    ④…………………………………………12分

∵方程④或.

∴即滿足條件的直線、存在，共有3組．

【解析】略