Question

13．已知焦距為4的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₂為橢圓C的右焦點(diǎn)，A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，M，N分別是AF₂，BF₂的中點(diǎn)，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0）．
（1）證明：點(diǎn)A在定圓上；
（2）若直線AB的傾斜角為30°，求橢圓C的離心率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出B（-x₀，-y₀），M（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），N（$\frac{2-{x}_{0}}{2}$，-$\frac{{y}_{0}}{2}$）．
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)得出即${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=4，即可判斷點(diǎn)的位置．
（2）根據(jù)直線與橢圓的位置性質(zhì)得出$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，又a²-b²=4，解方程組即可求解離心率．

解答 解：（1）因?yàn)闄E圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，
所以右焦點(diǎn)F₂（2，0）．
設(shè)A（x₀，y₀），
則B（-x₀，-y₀），M（$\frac{{x}_{0}+2}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{2}$），N（$\frac{2-{x}_{0}}{2}$，-$\frac{{y}_{0}}{2}$）．
因?yàn)榫�段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），
所以$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，所以$\frac{4-{x}_{0}^{2}}{4}$-$\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$=0，即${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=4，
故點(diǎn)A在以原點(diǎn)O（0，0）為圓心，半徑為2的圓上．
（2）因?yàn)橹本�AB的傾斜角為30⁰，
所以直線AB的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
因?yàn)锳（x₀，y₀），所以有y₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x₀，
又由（1）知${x}_{0}^{2}$+${y}_{0}^{2}$=4，解得${x}_{0}^{2}$=3，${y}_{0}^{2}$=1．
又點(diǎn)A（x₀，y₀）在橢圓C上，則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，即$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
又a²-b²=4，解得a²=6，a=$\sqrt{6}$，
故橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的方程，幾何性質(zhì)，與向量的知識(shí)的融合，運(yùn)算量大，化簡(jiǎn)仔細(xì)認(rèn)真，屬于難題．