Question

2．已知△OFQ的面積為S，且$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{FQ}$=1．
（1）若$\frac{1}{2}$＜S＜2，向量$\overrightarrow{OF}$與$\overrightarrow{FQ}$的夾角為θ，求tanθ取值范圍；
（2）設(shè)|$\overrightarrow{OF}$|=c（c≥2），S=$\frac{3}{4}$c，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當(dāng)|$\overrightarrow{OQ}$|取最小值時，建立坐標(biāo)系求此時橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意知$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|=\frac{1}{cosθ}$，$S=\frac{1}{2}tanθ$，從而1＜tanθ＜4；
（2）以O(shè)為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)Q（m，n），則F（c，0），由題意知$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FQ}=c（m-c）=1$，則$m=c+\frac{1}{c}$．由此知${|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|}^{2}=（c+\frac{1}{c}）^{2}+\frac{9}{4}$，由此入手，當(dāng)$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|$取最小值時，能夠求出橢圓的方程．

解答 解：（1）由題意知，$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FQ}=|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|cosθ=1$
所以$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|=\frac{1}{cosθ}$，
因為$S=\frac{1}{2}|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|sin（π-θ）$=$\frac{1}{2}|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OF}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{FQ}}\end{array}|sinθ$，
所以$S=\frac{1}{2}tanθ$，
又$\frac{1}{2}$＜S＜2，
所以1＜tanθ＜4；
（2）以O(shè)為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
并設(shè)Q（m，n），則F（c，0），
且$\left\{\begin{array}{l}{S=\frac{1}{2}cn}\\{S=\frac{3}{4}c}\end{array}\right.$，故$n=\frac{3}{2}$．
因為$\overrightarrow{OF}=（c，0）$，$\overrightarrow{FQ}=（m-c，n）$，
所以$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{FQ}=c（m-c）=1$，
則$m=c+\frac{1}{c}$，故$Q（c+\frac{1}{c}，\frac{3}{2}）$．
從而${|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|}^{2}=（c+\frac{1}{c}）^{2}+\frac{9}{4}$．
又c≥2，
故當(dāng)c=2時，$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{OQ}}\end{array}|$最小，此時$Q（\frac{5}{2}，\frac{3}{2}）$．
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1\\;\\;（a＞b＞0）$，
則有$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=4={a}^{2}-^{2}}\\{\frac{（\frac{5}{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$ 
解得a²=10，b²=6，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點評 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意積累解題方法．