Question

17．在直角坐標系xOy中，已知直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C：ρ²（1+sin²θ）=2．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設(shè)點M的直角坐標為（1，2），直線l與曲線C 的交點為A、B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C：ρ²（1+sin²θ）=2，可得ρ²+（ρsinθ）²=2，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得直角坐標方程．
（Ⅱ）把$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入橢圓方程中，整理得$3{t^2}+10\sqrt{2}t+14=0$，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由t得幾何意義可知|MA||MB|=|t₁t₂|．

解答 解：（Ⅰ）直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：l：x-y+1=0．
曲線C：ρ²（1+sin²θ）=2，可得ρ²+（ρsinθ）²=2，
可得直角坐標方程：x²+y²+y²=2，
即$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）把$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$中，
整理得$3{t^2}+10\sqrt{2}t+14=0$，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
∴${t_{\;1}}•{t_{\;2}}=\frac{14}{3}$，
由t得幾何意義可知，$|MA||MB|=|{t_{\;1}}•{t_{\;2}}|=\frac{14}{3}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、直線方參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．