Question

7．如圖，AB為⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D．
（Ⅰ）求證：CE²=CD•CB．
（Ⅱ）若D為BC的中點，且BC=2$\sqrt{2}$，求AB與DE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BE，由切線的性質(zhì)和相似三角形的判定定理可得△CED∽△CBE，即可得證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE²=CB•CD，結(jié)合條件可得CE=2，運用直角三角形的勾股定理可得OB=1，由勾股定理可得AD，再由切割線定理可得BD²=DE•DA，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接BE，由BC為圓O的切線，
可得∠ABC=90°，∠CBE=∠A，
由OA=OE，可得∠A=∠AEO，
由∠AEO=∠CED，可得∠CED=∠CBE，
又∠C=∠C，可得△CED∽△CBE，
即有$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，
可得CE²=CB•CD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE²=CB•CD，
D為BC的中點，且BC=2$\sqrt{2}$，
可得CE²=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，即CE=2，
又OB²+BC²=OC²=（OE+EC）²=（OB+CE）²，
OB²+8=OB²+4OB+4，
解得OB=1，AB=2OB=2，
又AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
由切割線定理可得BD²=DE•DA，
則DE=$\frac{B{D}^{2}}{DA}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題圓的切線的性質(zhì)和切割線定理、以及弦切角性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．