Question

已知函數(shù)f（x）=

x

lnx

，g（x）=f（x）-mx（m∈R），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞減，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使m≥g（x₁）-g′（x₂）成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù) 定義域，利用導函數(shù)小于0，即可求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）通過函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調遞減，導函數(shù)小于等于0恒成立，推出m的不等式，然后通過求解函數(shù)的最值，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）由g（x₁）≤g'（x₂）+m，轉化

x

lnx

-mx≤

1

4

，構造函數(shù)u(x)=

1

lnx

-

1

4x

，求出u(x) min=u(e2)=

1

2

-

1

4e2

，即可得到實數(shù)m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

，
∴當f′（x）＜0時，0＜x＜e且x≠1
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，1）和（1，e）．

（Ⅱ）∵g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-m≤0恒成立，即m≥

lnx-1

(lnx)2

恒成立，
設h(x)=

lnx-1

(lnx)2

，∵

lnx-1

(lnx)2

=-(

1

lnx

-

1

2

)2+

1

4

，
∴當x=e²時，h(x)max=

1

4

，∴m≥

1

4

．

（Ⅲ）由題意知，g（x₁）≤g′（x₂）+m，
∴只需存在x∈[e，e²]使g（x）≤g′（x）_max+m，
由（Ⅱ）知g′(x)max=

1

4

-m，
∴只需存在x∈[e，e²]，使g(x)≤

1

4

，
即

x

lnx

-mx≤

1

4

，∴m≥

1

lnx

-

1

4x

，
設u(x)=

1

lnx

-

1

4x

，則u′(x)=-

1

x(lnx) 2

+

1

4x2

=

(lnx)2-4x

4x2(lnx)2

∵x∈[e，e²]，（lnx）²∈[1，4]，4x∈[4e，4e²]，
∴u′（x）＜0，∴u（x）在[e，e²]上單調遞減，∴u(x) min=u(e2)=

1

2

-

1

4e2

∴實數(shù)m的最小值為

1

2

-

1

4e2

．

點評：本題考查導數(shù)、單調區(qū)間的求法及應用、不等式中存在成立問題中的參數(shù)范圍求法，考查學生運算能力、推理思維能力和解決具體問題的能力，較難題．