Question

已知

m

=（sinx，-1），

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函數(shù)f（x）=

m

2+

m

•

n

-2
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間
（2）將函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，在向左平移

π

3

的單位，得到函數(shù)g（x），若△ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角為A，B，C，且三邊a，b，c成等差數(shù)列，且g（B）=

3

2

，試求（cosA-cosC）²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算可得函數(shù)f（x）=

m

2+

m

•

n

-2=sin(2x-

π

6

)，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得x即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，在向左平移

π

3

的單位，得到函數(shù)g（x）=sin(x+

π

3

-

π

6

)=sin(x+

π

6

)，由三邊a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，可知B為銳角，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，進(jìn)而得到sin²A+sin²C+2sinAsinC=1，由g（B）=

3

2

，可得sin(B+

π

6

)=

3

2

，解得B=

π

6

．（cosA-cosC）²=cos²A+cos²C-2cosAcosC=x．即可得出．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

m

2+

m

•

n

-2=（sin²x+1）+

3

sinxcosx+

1

2

-2=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，在向左平移

π

3

的單位，得到函數(shù)g（x）=sin(x+

π

3

-

π

6

)=sin(x+

π

6

)，
∵三邊a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，可知B為銳角．
由g（B）=

3

2

，可得sin(B+

π

6

)=

3

2

，
∴B+

π

6

=

π

3

，解得B=

π

6

．
（cosA-cosC）²=cos²A+cos²C-2cosAcosC=x．
∵sinA+sinC=2sinB，∴sin²A+sin²C+2sinAsinC=1，
∴2-2cos（A+C）=x+1，
∴2+2cosB=x+1，
∴x=

3

+1．
即（cosA-cosC）²=

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性及其變換、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．