Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，x≥0\\{x^3}，x＜0\end{array}$，若函數(shù)g（x）=|f（x）|-x-b有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則b實(shí)數(shù)的取值范圍為$（{0，\frac{1}{4}}）$．

Answer 1

分析 在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|f（x）|與y=x+b的圖象，結(jié)合圖象得出
0＜b＜$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|與y=x+b有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）=|f（x）|-x-b有四個(gè)不同的零點(diǎn)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x，x≥0\\{x^3}，x＜0\end{array}$，
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|f（x）|與y=x+b的圖象，如圖所示；

∴當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)y=x與y=|f（x）|有3個(gè)不同的交點(diǎn)；
令$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y={-x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，
消去y，得x²-x+b=0，
令△=1-4b=0，
解得b=$\frac{1}{4}$，此時(shí)函數(shù)y=x與y=|f（x）|有3個(gè)不同的交點(diǎn)；
∴當(dāng)0＜b＜$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|與y=x+b有4個(gè)交點(diǎn)；
∴函數(shù)g（x）=|f（x）|-x-b有四個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，b實(shí)數(shù)的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．