Question

定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)f（x），f（x+y）=f（x）+f（y），且f（3）=6；
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）求f（x）=x²-2ax+1在[0，2]上的最大值．
（3）若不等式f（2x-1）+f（m-mx²）＞0對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，求x取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0），f（1）的值；
（2）結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）=x²-2ax+1在[0，2]上的最大值．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式f（2x-1）+f（m-mx²）＞0對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求x取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（3）=6，
∴令y=0，則f（x）=f（x）+f（0），
解得f（0）=0，
令x=y=1，則f（2）=f（1）+f（1）=2f（1），
則f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=6，
則f（1）=2；
（2）f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，則對稱軸為x=a，
區(qū)間[0，2]的中點(diǎn)為x=1，
若a≥1，則函數(shù)f（x）的最大值為f（0）=1，
若a＜1，則函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=2-2a．
（3）∵定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)f（x），滿足f（3）＞f（1）＞f（0），
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，
則不等式f（2x-1）+f（m-mx²）＞0等價(jià)為
f（2x-1+m-mx²）＞f（0）對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，
即2x-1+m-mx²＞0對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，
設(shè)g（m）=2x-1+m-mx²=（1-x²）m+2x-1，
則滿足

g(2)=-2x2+2x+1＞0 g(-2)=2x2+2x-3＞0

，則

2x2-2x-1＜0 2x2+2x-3＞0

，
解得

1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2 x＞ -1+ 7 2 或x＜ -1- 7 2

，
解得

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

，
即x取值范圍是

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解集抽象函數(shù)的基本方法，利用函數(shù)的單調(diào)性以及以及轉(zhuǎn)化變量法是解決本題的關(guān)鍵．