Question

已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b為實(shí)數(shù)，1＜a＜2，
（1）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到原函數(shù)為f(x)=x3-

3

2

ax2+b，根據(jù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性求其最大值和最小值，由最小值、最大值分別為-2、1求a、b的值；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入f（x）的解析式，然后分點(diǎn)P（2，1）是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)求解經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程．

解答： 解：（1）由已知得，f(x)=x3-

3

2

ax2+b，
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=b，
∴b=1．
又f（1）=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，
f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1）．即-

3

2

a=-2，得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1；
（2）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f′（x）=3x²-4x，點(diǎn)P（2，1）在曲線f（x）上．
①當(dāng)切點(diǎn)為P（2，1）時(shí)，切線l的斜率k=f′（x）|_x=2=4，
∴l(xiāng)的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
②當(dāng)點(diǎn)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切線l的斜率k=k=f′（x₀）=3x02-4x0，
∴l(xiāng)的方程為y-y₀=（3x₀²-4x₀）（x-x₀）．
又點(diǎn)P（2，1）在l上，
∴1-y₀=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴1-（x₀³-2x₀²+1）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²（2-x₀）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²=3x₀²-4x₀，
即2x₀（x₀-2）=0，
∴x₀=0．
∴切線l的方程為y=1．
故所求切線l的方程為4x-y-7=0或y=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．