Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足：f（x+π）=

f(x)

π

，且x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，f（x）=xsinx+cosx-

π

2

，則當(dāng)x∈[-3π，-2π]時(shí)，f（x）的最小值為（　�。�

• A、

  2π3-π4

  2

• B、

  2π2-π3

  2

• C、

  2-π

  2π

• D、

  2-π

  2π2

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由已知可得f（x）=π^kf（x+kπ），分當(dāng)x∈[-3π，-

5π

2

]時(shí)和當(dāng)∈[-

5π

2

，-2π]時(shí)兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得最小值．

解答： 解：∵f（x+π）=

f(x)

π

，
∴f（x+kπ）=

f(x)

πk

，k∈Z，
即f（x）=π^kf（x+kπ），
又∵x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，f（x）=xsinx+cosx-

π

2

，
①當(dāng)x∈[-3π，-

5π

2

]時(shí)，x+3π∈[-0，

π

2

]，
此時(shí)f（x+3π）=（x+3π）sin（x+3π）+cos（x+3π）-

π

2

=-（x+3π）six-cosx-

π

2

，
則f（x）=π³f（x+kπ）=-π³[（x+3π）six+cosx+

π

2

]，
則f′（x）=-π³（x+3π）cosx≥0，故此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
最小值為f（-3π）=

2π3-π4

2

，
②當(dāng)∈[-

5π

2

，-2π]時(shí)，x+2π∈[-

π

2

，0]，
此時(shí)f（x+2π）=（x+2π）sin（x+2π）+cos（x+2π）-

π

2

=（x+2π）six+cosx-

π

2

，
則f（x）=π²f（x+kπ）=π²[（x+2π）six+cosx-

π

2

]，
則f′（x）=π²（x+2π）cosx≥0，故此時(shí)f（x）為增函數(shù)，
綜上f（x）的最小值為f（-3π）=

2π3-π4

2

，
故選：A

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值上，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算強(qiáng)度大，屬于難題．