Question

已知函數(shù)f（x）=（x+a）²+lnx．
（1）當a=

2

時，求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁、x₂，且x₁∈（0，

1

2

），證明：f（x₁）-f（x₂）＞

3

4

-ln2．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）當a=

2

時，f′(x)=2(x+

2

)+

1

x

=

2(x+ 2 2 )2

x

≥0，由此能求出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值．
（2）f′(x)=2(x+a)+

1

x

=

2x2+2ax+1

x

，由已知得2x²+2ax+1≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，即a≥-

2x2+1

2x

，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=2(x+a)+

1

x

=

2x2+2ax+1

x

，x₁，x₂是方程2x²+2ax+1=0的兩個根，由此利用導數(shù)性質結合已知條件能證明f（x₁）-f（x₂）＞

3

4

-ln2．

解答： （1）解：當a=

2

時，函數(shù)f（x）=（x+

2

）²+lnx，
則f′(x)=2(x+

2

)+

1

x

=

2x2+2 2 x+1

x

=

2(x+ 2 2 )2

x

≥0，
∴f（x）在[1，+∞）上遞增，
∴f（x）_min=f（1）=3+2

2

．
（2）解：f′(x)=2(x+a)+

1

x

=

2x2+2ax+1

x

，
∵f（x）在[1，+∞）上遞增，∴f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
∴2x²+2ax+1≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，
即a≥-

2x2+1

2x

，而-

2x2+1

2

=-

1

2

(2x+

1

x

)，
-

1

2

(2x+

1

x

)在x∈[2，+∞）上遞減，
當x∈[2，+∞）時，-

1

2

(2x+

1

x

)≤-

9

4

，
∴a≥-

9

4

．
（3）證明：f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=2(x+a)+

1

x

=

2x2+2ax+1

x

，
∵函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，
∴x₁，x₂是方程2x²+2ax+1=0的兩個根，
∴x1x2=

1

2

，x2=

1

2x1

，且2ax₁=-2x₁²-1，2ax₂=-2x₂²-1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+a）²+lnx₁-（x₂+a）²-lnx₂
=-x12+x22+lnx1-lnx2
=-x12+

1

4x12

+ln2x12，
令h（x）=-x²+

1

4x2

+ln2x²，x∈（0，

1

2

），
h′（x）=-2x-

1

2x3

+

2

x

=

-4x4+4x2-1

2x3

=

-(2x2-1)2

2x3

≤0，
∴h（x）在（0，

1

2

）上單調遞減，
∴h（x）＞h（

1

2

）=-

1

4

+1+ln

1

2

=

3

4

-ln2．
∴f（x₁）-f（x₂）＞

3

4

-ln2．

點評：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要注意導數(shù)性質的合理運用．