Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），傾斜角a=$\frac{π}{6}$的直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，2）．
（1）寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)sin²θ+cos²θ=1，消去θ得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)傾斜角與直線l過點(diǎn)P，確定出直線l的參數(shù)方程即可；
（2）把直線方程代入圓方程，整理后利用韋達(dá)定理即可確定出所求式子的值．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$，
根據(jù)sin²θ+cos²θ=1，消去θ，得$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
整理得：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+y²=16，
∵傾斜角a=$\frac{π}{6}$的直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t•cos\frac{π}{6}}\\{y=2+t•sin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（2）把直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²=16中，得：（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（2+$\frac{1}{2}$t）²=16，
整理得：t²+（2+$\sqrt{3}$）t-11=0，
由韋達(dá)定理得：t₁t₂=-11，
則|PA|•|PB|=11．

點(diǎn)評 此題考查了參數(shù)方程化為普通方程，熟練掌握參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵．