Question

20．某大學(xué)自主招生考試面試環(huán)節(jié)中，共設(shè)置兩類考題，A類題有4個(gè)不同的小題，B類題有6個(gè)不同的小題，某考生從中任抽取四道題解答．
（Ⅰ）求該考生至少抽取到2道B類題的概率；
（Ⅱ）設(shè)所抽取的四道題中B類題的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A：”該考生至少取到2道B類題”，利用對立事件概率計(jì)算公式能求出該考生至少抽取到2道B類題的概率．
（2）隨機(jī)變量X的取值分別為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列與期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A：”該考生至少取到2道B類題”，
P（A）=$1-\frac{C_4^4+C_4^3C_6^1}{{C_{10}^4}}=\frac{37}{42}$．…（4分）
（2）隨機(jī)變量X的取值分別為0，1，2，3，4，…（5分）
$P（{X=0}）=\frac{C_4^4}{{C_{10}^4}}=\frac{1}{210}$，$P（{X=1}）=\frac{C_4^3C_6^1}{{C_{10}^4}}=\frac{24}{210}$，$P（{X=2}）=\frac{C_4^2C_6^2}{{C_{10}^4}}=\frac{90}{210}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_4^1C_6^3}{{C_{10}^4}}=\frac{80}{210}$，$P（{X=4}）=\frac{C_6^4}{{C_{10}^4}}=\frac{15}{210}$，…（10分）
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{15}{210}$

…（11分）
∴隨機(jī)變量X的期望為：$EX=0×\frac{1}{210}+1×\frac{24}{210}+2×\frac{90}{210}+3×\frac{80}{210}+4×\frac{15}{210}=\frac{12}{5}$．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．