Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，M為線段AB的中點(diǎn)，若∠MOB=60°，則該橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，在Rt△OAB中，M為線段AB的中點(diǎn)，∠MOB=60°，可得△OMB為等邊三角形，因此c=$\sqrt{3}$b，即可得出．

解答 解：如圖所示，
在Rt△OAB中，M為線段AB的中點(diǎn)，∠MOB=60°，
∴△OMB為等邊三角形，∴∠OBM=60°．
∴c=$\sqrt{3}$b，∴c²=3b²=3（a²-c²），可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．