Question

4．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在$x∈[\frac{1}{e}，e]$使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，研究出原函數(shù)在[1，3]上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立轉(zhuǎn)化為a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$成立，設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），利用導(dǎo)函數(shù)求出h（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增．
又f（1）=ln1=0，
所以函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為0．
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$．
若存在x∈[$\frac{1}{e}$，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+$\frac{3}{x}$的最大值．
設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．
當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，1）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，e]時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
由h（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{1}{e}$+3e，h（e）=2+e+$\frac{3}{e}$，
h（$\frac{1}{e}$）-h（e）=2e-$\frac{2}{e}$-4＞0，
可得h（$\frac{1}{e}$）＞h（e）．
所以，當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，e]時，h（x）的最大值為h（$\frac{1}{e}$）=-2+$\frac{1}{e}$+3e，
故a≤-2+$\frac{1}{e}$+3e．

點評 本題主要研究利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立問題．當(dāng)a≥h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最大值；當(dāng)a≤h（x）恒成立時，只需要求h（x）的最小值．