Question

如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m．經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），．以所在直線為軸，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（Ⅰ）求所在直線的方程及新橋BC的長；

（Ⅱ）當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

并求此時(shí)圓的方程.

 

 

Answer 1

（1）,;（2）線段米時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)最大；方程為

【解析】

試題分析：（1）在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇恰當(dāng)?shù)闹本�方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；（2）根據(jù)圓的圓心坐標(biāo)和半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（3）判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，用幾何法；若方程中含參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法.

試題解析：（Ⅰ）建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

由條件知A（0, 60），C（170, 0），

直線BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.

又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率k AB=

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a,b），則k BC=

k AB=

解得a=80，b=120.所以BC=.

因此直線BC的方程為，即..............6分

新橋BC的長是150 m.

（Ⅱ）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m,（0≤d≤60）.

由知，直線BC的方程為

由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M（0，d）到直線BC的距離是r，

即.

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,

所以即解得

故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大.

所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.此時(shí)圓的方程為..........................13分

考點(diǎn)：（1）直線方程的應(yīng)用；（2）直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.