Question

設直角三角形的兩條直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則有：
①a²+b²＞c²+h²；
②a³+b³＜c³+h³；
③a⁴+b⁴＞c⁴+h⁴；
④a⁵+b⁵＜c⁵+h⁵．
其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：由題意可得ab=ch，可得h=

ab

c

．a²+b²=c²．令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈(0，

π

2

)．利用三角函數(shù)的單調性即可得出．

解答： 解：由題意可得ab=ch，可得h=

ab

c

．a²+b²=c²．
令

a

c

=cosθ，

b

c

=sinθ，θ∈(0，

π

2

)．
①左邊=a²+b²=c²＜c²+h²=右邊，不正確；
②a³+b³＜c³+h³，化為cos³θ+sin³θ＜1+(

h

c

)3．
由cos³θ+sin³θ＜cos²θ+sin²θ=1＜1+(

h

c

)3．
因此正確．
由此可得：③不正確；④正確．
其中正確結論的序號是②④．

點評：本題考查了勾股定理、三角函數(shù)的單調性、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．