Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（2ωx+φ）+2（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象過點(diǎn)M（3，1），且相鄰兩最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為5．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（x）在x∈[-

3

2

，1]上的最大值，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，可求得f（x）_max=4，f（x）_min=0，由

42+( π 2ω )2

=5，即

π

2ω

=3，解得ω=

π

6

；又f（3）=1，可求得φ的值，從而可得f（x）的表達(dá)式；
（2）由x∈[-

3

2

，1]，可得（

π

3

x+

π

3

）∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得f（x）在x∈[-

3

2

，1]上取得最大值4及x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（2ωx+φ）+2（ω＞0，0＜φ＜π），
∴f（x）_max=4，f（x）_min=0，
又相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的橫坐標(biāo)的距離是半個(gè)周期

1

2

×

2π

2ω

=

π

2ω

，縱坐標(biāo)之間的距離為4，
依題意得：

42+( π 2ω )2

=5，即

π

2ω

=3，解得：ω=

π

6

；
又f（3）=1，即2cos（2×3×

π

6

+φ）+2=1，
∴cosφ=

1

2

，而0＜φ＜π，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2cos（

π

3

x+

π

3

）+2；
（2）∵x∈[-

3

2

，1]，∴（

π

3

x+

π

3

）∈[-

π

6

，

2π

3

]；
∴當(dāng)

π

3

x+

π

3

=0，即x=-1時(shí)，f（x）在x∈[-

3

2

，1]上取得最大值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求ω的值是難點(diǎn)，考查綜合運(yùn)算與規(guī)范表達(dá)能力，屬于難題．