Question

13．已知拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，且滿足|PM|=λ|PF|，當(dāng)λ取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以M、F為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結(jié)合|PM|=λ|PF|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}$=$\frac{1}{λ}$，設(shè)PA的傾斜角為α，則當(dāng)λ取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PM|=λ|PF|，∴|PM|=λ|PN|，則$\frac{|PN|}{|PA|}$=$\frac{1}{λ}$，
設(shè)PM的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{λ}$，
當(dāng)λ取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，
設(shè)直線PM的方程為y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實(shí)軸長為|PM|-|PF|=2（$\sqrt{2}$-1），
∴雙曲線的離心率為$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)λ取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，屬中檔題．