Question

13．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，C的準線和對稱軸交于點M，點P是C上一點，且滿足|PM|=λ|PF|，當λ取最大值時，點P恰好在以M、F為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義，結合|PM|=λ|PF|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}$=$\frac{1}{λ}$，設PA的傾斜角為α，則當λ取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，求出P的坐標，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：過P作準線的垂線，垂足為N，
則由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，
∵|PM|=λ|PF|，∴|PM|=λ|PN|，則$\frac{|PN|}{|PA|}$=$\frac{1}{λ}$，
設PM的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{λ}$，
當λ取得最大值時，sinα最小，此時直線PM與拋物線相切，
設直線PM的方程為y=kx-1，代入x²=4y，可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴雙曲線的實軸長為|PM|-|PF|=2（$\sqrt{2}$-1），
∴雙曲線的離心率為$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查拋物線的性質，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學生分析解決問題的能力，解答此題的關鍵是明確當λ取得最大值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，屬中檔題．