Question

8．定義在（-1，+∞）上的單調函數(shù)f（x），對于任意的x∈（-1，+∞），f[f（x）-xe^x]=0恒成立，則方程f（x）-f′（x）=x的解所在的區(qū)間是（　�。�

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （-$\frac{1}{2}$，0）
• D． （$\frac{1}{2}，1$）

Answer 1

分析 由題意，可知f（x）-xe^X是定值，令t=f（x）-xe^X，得出f（x）=xe^X+t，再由f（t）=te^t+t=0求出t的值，即可得出f（x）的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，即可求出f（x）-f′（x）=x的解所在的區(qū)間，即得正確選項．

解答 解：由題意，可知f（x）-xe^X是定值，不妨令t=f（x）-xe^X，則f（x）=xe^X+t，
又f（t）=te^t+t=0，解得t=0，
所以有f（x）=xe^X，
所以f′（x）=（x+1）e^X，
令F（x）=f（x）-f′（x）-x=xe^x-（x+1）e^x-x=-e^x-x，
可得F（-1）=1-$\frac{1}{e}$＞0，F(xiàn)（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{e}}{e}$＜0
即F（x）的零點在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{2}$）內
∴方程f（x）-f′（x）=x的解所在的區(qū)間是（-1，-$\frac{1}{2}$），
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)運算法則，函數(shù)的零點，解題的關鍵是判斷出f（x）-xe^x是定值，本題考查了轉化的思想，將方程的根轉化為函數(shù)的零點來進行研究，降低了解題的難度．