Question

4．已知定義在R上的函數(shù)f（x），g（x）滿足$\frac{f（x）}{g（x）}={b^x}$，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$，若{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a₅a₇+2a₆a₈+a₄a₁₂=$\frac{f（4）}{g（4）}$，則a₆+a₈等于（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}={b^x}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出b的值，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
得f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，
設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}={b^x}$，
則h′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
即函數(shù)h（x）為減函數(shù)，則0＜b＜1，
∵$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{{f（{-1}）}}{{g（{-1}）}}=\frac{5}{2}$，
∴b+$\frac{1}=\frac{5}{2}$，解得b=2（舍）或b=$\frac{1}{2}$，
則h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}={b^x}$=（$\frac{1}{2}$）^x，
則$\frac{f（4）}{g（4）}$=h（4）=（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，
則a₅a₇+2a₆a₈+a₄a₁₂=$\frac{1}{16}$，
即a₆²+2a₆a₈+a₈²=$\frac{1}{16}$，
即（a₆+a₈）²=$\frac{1}{16}$，
∵{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，
∴a₆+a₈=$\frac{1}{4}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．