Question

(本題滿分12分)如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中， E、F分別是棱DD1 、C1D1的中點(diǎn).

(1)求直線BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；

(2)證明：B1F∥平面A1BE．

Answer 1

（1） ；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)G是AA1的中點(diǎn)，連接GE，BG，可證∠EBG是直線BE和平面ABB1A1所成角，而后利用直角三角形求其正弦；

（2）連接EF、AB1、C1D，記AB1與A1B的交點(diǎn)為H，連接EH，證明四邊形B1FEH為平行四邊形即可.

試題解析：【解析】
(1)設(shè)G是AA1的中點(diǎn)，連接GE，BG．∵E為DD1的中點(diǎn)，ABCD—A1B1C1D1為正方體，∴GE∥AD，又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜線BE在平面ABB1A1內(nèi)的射影為BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直線BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG=．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，∴，，，

∴直線BE和平面ABB1A1所成角的正弦值為：； 6分

(2)證明：連接EF、AB1、C1D，記AB1與A1B的交點(diǎn)為H，連接EH．

∵H為AB1的中點(diǎn)，且B1H=C1D，B1H∥C1D，而EF=C1D，EF∥C1D，

∴B1H∥EF且B1H=EF，四邊形B1FEH為平行四邊形，即B1F∥EH，

又∵B1F平面A1BE且EH平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE． 12分

考點(diǎn)：1、直線與平面所成的角；2、空間直線與平面的位置關(guān)系.