Question

8．以直角坐標系的原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，有下列命題：
①極坐標為$（3\sqrt{2}，\frac{3}{4}π）$的點P所對應的復數(shù)是-3+3i；
②ρcosθ=1與曲線x²+y²=y無公共點；
③圓ρ=2sinθ的圓心到直線2ρcosθ-ρsinθ+1=0的距離是$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
④θ=$\frac{π}{4}$．（ρ＞0）與曲線$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）相交于點P，則點P的直角坐標是$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
其中真命題的序號是①②．

Answer 1

分析 ①把極坐標化為直角坐標系內(nèi)的點即可；
②把極坐標方程化為普通方程，由圓心到直線的距離d與半徑r的關系即可得出結論；
③把極坐標方程化為普通方程，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷正誤；
④把極坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程，求出它們的交點坐標即可．

解答 解：對于①，極坐標為$（3\sqrt{2}，\frac{3}{4}π）$的點P對應的平面直角坐標系的點為
（3$\sqrt{2}$cos$\frac{3π}{4}$，3$\sqrt{2}$sin$\frac{3π}{4}$），即（-3，3），
它在復平面內(nèi)對應的復數(shù)為-3+3i，∴①正確；
對于②，極坐標方程ρcosθ=1化為普通方程是x=1，
且曲線x²+y²=y化為標準方程是x²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
則圓心（0，$\frac{1}{2}$）到直線x=1的距離為
d=1＞$\frac{1}{2}$，
∴d＞r，
∴直線與圓無公共點，②正確；
對于③，圓ρ=2sinθ化為普通方程是
x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1，
直線2ρcosθ-ρsinθ+1=0化為普通方程是
2x-y+1=0，
則圓心C（0，1）到直線l的距離為
d=$\frac{|2×0-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴③錯誤；
對于④，極坐標方程θ=$\frac{π}{4}$，（ρ＞0）化為普通方程是y=x（x＞0），
曲線$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）化為普通方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=x（x＞0）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴點P的直角坐標是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），∴④錯誤．
綜上，正確的命題為①②．
故答案為：①②．

點評 本題考查了參數(shù)方程與極坐標的應用問題，也考查了直線與圓錐曲線的應用問題，是綜合性題目．