Question

3．在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點分別為A（2，4），B（1，-3），C（-2，1）．
（1）求BC邊上的高所在的直線方程；
（2）設AC中點為D，求△DBC的面積．

Answer 1

分析 （1）k_BC=-$\frac{4}{3}$，可得BC邊上的高所在的直線的斜率為$\frac{3}{4}$．利用點斜式可得BC邊上的高所在的直線方程．
（2）BC邊所在的直線方程為：y+3=-$\frac{4}{3}$（x-1），化為：4x+3y+5=0．可得AC的中點D$（0，\frac{5}{2}）$．利用點D到直線BC的距離d．又|BC|，可得S_△DBC=$\frac{1}{2}|BC|•d$．

解答 解：（1）k_BC=$\frac{-3-1}{1+2}$=-$\frac{4}{3}$，∴BC邊上的高所在的直線的斜率為$\frac{3}{4}$．
則BC邊上的高所在的直線方程為：y-4=$\frac{3}{4}$（x-2），化為：3x-4y+10=0．
（2）BC邊所在的直線方程為：y+3=-$\frac{4}{3}$（x-1），化為：4x+3y+5=0．
∵D是AC的中點，∴D$（0，\frac{5}{2}）$．
點D到直線BC的距離d=$\frac{|4×0+3×\frac{5}{2}+5|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{5}{2}$．
又|BC|=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（1+3）^{2}}$=5，
∴S_△DBC=$\frac{1}{2}|BC|•d$=$\frac{1}{2}×5×\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了直線的方程、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．