【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,它在點(diǎn)處的切線為直線.
(Ⅰ)求直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)對曲線的極坐標(biāo)方程兩邊乘以化為直角坐標(biāo)方程.利用導(dǎo)數(shù)可求得曲線在處的切線方程.(2)設(shè)出橢圓的參數(shù)方程,利用點(diǎn)到直線距離公式和三角恒等變換的知識,可求得到直線距離的取值范圍.
試題解析:
選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解:(Ⅰ)∵曲線的極坐標(biāo)方程為,
∴,∴曲線的直角坐標(biāo)方程為,
又的直角坐標(biāo)為(2,2),
∵,∴.
∴曲線在點(diǎn)(2,2)處的切線方程為,
即直線的直角坐標(biāo)方程為.
(Ⅱ)為橢圓上一點(diǎn),設(shè),
則到直線的距離,
當(dāng)時,有最小值0.
當(dāng)時,有最大值.
∴到直線的距離的取值范圍為[0, ].
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x)=
(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值;
(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表達(dá)式.
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【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個焦點(diǎn)為,且長軸與短軸長的比是
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)在 橢圓C的長軸上,點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)最小時,點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)證明是上的偶函數(shù)
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題12分)根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定:居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
]
組別 | PM2.5濃度(微克/立方米) | 頻數(shù)(天) | 頻率 |
第一組 | 3 | 0.15 | |
第二組 | 12 | 0.6 | |
第三組 | 3 | 0.15 | |
第四組 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)從樣本中PM2.5的24小時平均濃度超過50微克/立方米的5天中,隨機(jī)抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小時平均濃度超過75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求樣本平均數(shù),并根據(jù)樣本估計總體的思想,從PM2.5的年平均濃度考慮,判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在定義域上有且只有一個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(,,,)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為,且函數(shù)為偶函數(shù).若函數(shù)滿足下列條件:①;②對一切實(shí)數(shù),不等式恒成立.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)函數(shù)()的兩個極值點(diǎn),()恰為的零點(diǎn),當(dāng)時,求的最小值.
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【題目】宿州市教體局為了了解屆高三畢業(yè)生學(xué)生情況,利用分層抽樣抽取位學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試成績作調(diào)查,制作了成績頻率分布直方圖,如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:,,,,,.
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)根據(jù)直方圖估計宿州市屆高三畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試成績的平均分;
(Ⅲ)在抽取的人中,從成績在和的學(xué)生中隨機(jī)選取人,求這人成績差別不超過分的概率.
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【題目】已知向量,為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)滿足:.
(Ⅰ)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知直線都過點(diǎn),且,與軌跡分別交于點(diǎn),試探究是否存在這樣的直線?使得是等腰直角三角形.若存在,指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程);若不存在,請說明理由.
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