Question

設函數(shù)，g（x）=2x²+4x+c．
（1）試問函數(shù)f（x）能否在x=-1時取得極值？說明理由；
（2）若a=-1，當x∈[-3，4]時，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意f′（x）=x²-2ax-a，
假設在x=-1時f（x）取得極值，則有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此時，f′（x）=x²+2x+1=（x+1）²≥0，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，無極值．
這與f（x）在x=-1有極值矛盾，所以f（x）在x=-1處無極值；
（2）令f（x）=g（x），則有x³-x²-3x-c=0，∴c=x³-x²-3x，
設F（x）=x³-x²-3x，G（x）=c，令F′（x）=x²-2x-3=0，解得x₁=-1或x=3．
列表如下：

由此可知：F（x）在（-3，-1）、（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)．
當x=-1時，F(xiàn)（x）取得極大值；當x=3時，F(xiàn)（x）取得極小值
F（-3）=F（3）=-9，而．
如果函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個公共點，
所以或c=-9．
分析：（1）利用反證法：根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導函數(shù)，假設x=-1時f（x）取得極值，則把x=-1代入導函數(shù)，導函數(shù)值為0得到a的值，把a的值代入導函數(shù)中得到導函數(shù)在R上為增函數(shù)，沒有極值與在x=-1時f（x）取得極值矛盾，所以得到f（x）在x=-1時無極值；
（2）把a=-1代入f（x）確定出f（x），然后令f（x）與g（x）相等，移項并合并得到c等于一個函數(shù)，設F（x）等于這個函數(shù)，G（x）等于c，求出F（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)等于0求出x的值，利用x的值討論導函數(shù)的正負得到F（x）的單調區(qū)間，進而得到F（x）的極大值和極小值，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，則函數(shù)F（x）與G（x）有兩個公共點，根據(jù)F（x）的極大值和極小值寫出c的取值范圍即可．
點評：此題考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，掌握函數(shù)的零點與方程根的關系，是一道中檔題．