如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過點(diǎn)A(0，1)．

(1)求橢圓的方程；

(2)過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點(diǎn)M、N，求證：直線MN恒過定點(diǎn)P.

 

（1）＋y2＝1.（2）見解析

【解析】(1)【解析】
由題意知：e＝＝，b＝1，a2－c2＝1，解得a＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.

(2)證明：設(shè)直線AM的方程為y＝kx＋1(k≠0)，由方程組得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，解得x1＝，x2＝0，所以xM＝，yM＝.用－代替上面的k，可得xN＝，yN＝.因?yàn)閗MP＝，kNP＝，所以kMP＝kNP，因?yàn)镸P、NP共點(diǎn)于P，所以M、N、P三點(diǎn)共線，故直線MN恒過定點(diǎn)P.

 

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用二次項(xiàng)定理證明32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N)．

 

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已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－3)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．

 

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設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3PF1＝4PF2，則△PF1F2的面積等于________．

 

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已知橢圓C：＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)M(－2，－1)，離心率為.過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q.

(1)求橢圓C的方程；

(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．

 

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)(異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn))，設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P，已知橢圓C的離心率為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PA的斜率為k1，直線MA的斜率為k2，求k1·k2的取值范圍．

 

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已知F1、F2是橢圓C：＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________.

 

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設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且長軸長是短軸長的2倍．又點(diǎn)P(4，1)在橢圓上，求該橢圓的方程．

 

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如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2＝4，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN(M、N分別為切點(diǎn))，使得PM＝PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

 

 

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