Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距為c，直線l過（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為

3

4

c，求雙曲線的漸近線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：直線l過（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，可得方程為

x

a

+

y

b

=1，由于原點(diǎn)到直線l的距離為

3

4

c，利用原點(diǎn)到直線的距離公式可得

ab

a2+b2

=

3

4

c，再利用c²=a²+b²即可得出．

解答： 解：∵直線l過（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，
∴方程為

x

a

+

y

b

=1，化為bx+ay-ab=0．
∵原點(diǎn)到直線l的距離為

3

4

c，
∴

ab

a2+b2

=

3

4

c，化為ab=

3

4

c2，
∴

3

(a2+b2)=4ab，
化為

3

(

b

a

)2-4

b

a

+

3

=0，0＜

b

a

＜1，解得

b

a

=

3

3

．
∴漸近線方程為y=±

3

3

x．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．