Question

15．設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q，[a_n]表示不超過實數(shù)a_n的最大整數(shù)（如[1.2]=1），設(shè)b_n=[a_n]，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，{a_n}的前n項和為S_n，
（1）若a₁=4，q=$\frac{1}{2}$，求S_n及T_n；
（2）若對于任意不超過2015的正整數(shù)n，都有T_n=2n+1，證明：（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2013}}$＜q＜1．

Answer 1

分析 （1）通過求出等比數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n，再求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n與前n項和T_n；
（2）利用數(shù)列{b_n}的前n項和T_n得出通項公式b_n，從而得出a_n的取值范圍，再結(jié)合a₁求出q的取值范圍．

解答 （1）解：∵等比數(shù)列{a_n}中a₁=4，q=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=4•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-3}}$，
∴S_n=$\frac{4（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=8（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵a₁=4，a₂=2，a₃=1，且n＞3時，0＜a_n＜1，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1}\\{2，}&{n=2}\\{1，}&{n=3}\\{0，}&{n＞3}\end{array}\right.$，
∴其前n項和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1}\\{6，}&{n=2}\\{7，}&{n≥3}\end{array}\right.$；
（2）證明：∵T_n=2n+1，b₁=3，
∴b_n=T_n-T_n-1=2（2≤n≤2015），
又∵b_n=[a_n]，
∴3≤a₁＜4，
∴2≤a_n＜3（2≤n≤2015），
又∵q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，
∴0＜q＜1，
∴q²⁰¹³=$\frac{{a}_{2015}}{{a}_{2}}$，
∴2≤a₂₀₁₅＜3，2≤a₂＜3，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{{a}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{3}$＜q²⁰¹³≤$\frac{3}{2}$，
∴$（{\frac{2}{3}）}^{\frac{1}{2013}}$＜q≤$（\frac{3}{2}）^{\frac{1}{2013}}$，
∴（$\frac{2}{3}$）${\;}^{\frac{1}{2013}}$＜q＜1．

點評 本題考查了等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題，也考查了新定義的取整函數(shù)的應(yīng)用問題以及不等式的證明問題，綜合性較強，注意解題方法的積累，屬于中檔題．