Question

13．已知不等式$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用基本不等式法求出函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：∵不等式$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，
∴m＞0．
∵$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$=$\frac{{x}^{2}+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$+$\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$=$\sqrt{{x}^{2}+m}$+$\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+m}•\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}}$=2$\sqrt{m}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+m}$=$\frac{m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$，即x²+m=m，即x=0時(shí)取等號(hào)，
∴若不等式$\frac{{x}^{2}+5+m}{\sqrt{{x}^{2}+m}}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，
則不等式2$\sqrt{m}$≥$\frac{5+m}{\sqrt{m}}$恒成立，
則2m≥5+m，即m≥5，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．