Question

在數(shù)列中，，且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的倍（）.

（1）寫(xiě)出此數(shù)列的前5項(xiàng)；

（2）歸納猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

 

Answer 1

（1）；（2），證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件中描述前項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第項(xiàng)的倍，可以得到相應(yīng)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為，結(jié)合，分別取，

得，

；（2）根據(jù)（1）中所求，可以猜測(cè)，利用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，則當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）中得到的式子，令，可以求得，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立，從而得證.

（1）由已知，分別取，

得，

；

∴數(shù)列的前5項(xiàng)是： 6分；

（2）由（1）中的分析可以猜想 8分，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立 9分，

②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，

即 10分，

那么由已知，得，

即.∴，

即，又由歸納假設(shè)，得，

∴，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立.

綜上①和②知，對(duì)一切，都有成立 13分．

考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)學(xué)歸納法.