Question

4．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE和CF的中點．
（Ⅰ）求證：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅱ）求CF與平面BDEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅱ）連接OF，證明OC⊥平面BDEF，即可求CF與平面BDEF所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，
所以GH∥EF，
又因為GH?平面AEF，EF?平面AEF，
所以GH∥平面AEF．
設(shè)AC∩BD=0，連接OH，
在△ACF中，因為OA=OC，CH=HF，
所以O(shè)H∥AF，
又因為OH?平面AEF，AF?平面AEF，
所以O(shè)H∥平面AEF．
又因為OH∩GH=H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅱ）解：連接OF，則
因為底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，
所以AC⊥BD，OC=$\sqrt{3}$，BD=1，
因為四邊形BDEF是矩形，BF=3，
所以O(shè)F=$\sqrt{10}$，
所以CF=$\sqrt{13}$，
因為AC⊥BD，AC⊥FB，F(xiàn)B∩BD=B，
所以O(shè)C⊥平面BDEF
所以CF與平面BDEF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

點評 本題主要考查線面、面面平行判斷，面面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．