Question

已知四棱錐P-ABCD，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AD=

2

，CD=4，PD=2，E為AP上一點(diǎn)，DE⊥AP，F(xiàn)是平面DEC與BP的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥AB；
（Ⅱ）求證：AP⊥面EFCD；
（Ⅲ）求PC與面EFCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由AB∥DC，DC?面PAB，AB?面PAB，根據(jù)線面平行的判定定理推斷出DC∥面PAB，又面PAB∩面DEFC=EF根據(jù)線面平行的性質(zhì)可推斷出EF∥DC，進(jìn)而可知EF∥AB．
（Ⅱ）由PD⊥面ABCD，推斷出PD⊥CD，又AD⊥CD，PD∩AD=D線面垂直的判定定理知CD⊥面PAD，進(jìn)而可知AP⊥CD，又AP⊥ED，CD∩DE=D，推斷出AP⊥面EFCD，
（Ⅲ）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P，C，A，

AP

，

PC

分別可知，設(shè)E（x，0，z）由

DE

⊥

AP

且

AP

∥

AE

可得

2 x-2z=0 2 x-2=-z

，解得x和z，進(jìn)而求得E點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)

n

=（m，n，p）為平面EFCD的一個(gè)法向量則有

2 2 3 m+ 2 3 p=0 4n=0

，令m=1，p=-

2

，則

n

可求得，最后利用向量是數(shù)量積求得PC與面EFCD所成角的余弦值，則其正弦值可得．．

解答： 解：（Ⅰ）AB∥DC，DC?面PAB，AB?面PAB，
∴DC∥面PAB，
又∵面PAB∩面DEFC=EF
∴EF∥DC，
∴EF∥AB．
（Ⅱ）∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥CD，
又AD⊥CD，PD∩AD=D
∴CD⊥面PAD，
∵AP?面PAD，
∴AP⊥CD，
又∵AP⊥ED，CD∩DE=D
∴AP⊥面EFCD，
（Ⅲ）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，2），C（0，4，0），A（

2

，0，0），

AP

=（-

2

，0，2），

PC

=（0，4，-2），
設(shè)E（x，0，z）由

DE

⊥

AP

且

AP

∥

AE

可得

2 x-2z=0 2 x-2=-z

，解得

x= 2 2 3 z= 2 3

，∴E（

2 2

3

，0，

2

3

），
設(shè)

n

=（m，n，p）為平面EFCD的一個(gè)法向量則有

2 2 3 m+ 2 3 p=0 4n=0

，令m=1，p=-

2

，∴

n

=（1，0，-

2

），
cos＜

n

，

PC

＞=

2 2

3 × 20

=

30

15

∴PC與面EFCD所成角的正弦值為

30

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)，空間法向量的運(yùn)用．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．