已知
a
=(cosα,sinα),
b
=(cosβ,sinβ)且α-β∈(-
π
2
,0),
(Ⅰ)若
a
b
=
3
2
,求α-β的值;
(Ⅱ)若|
a
-
b
|=
10
5
且α=
π
3
,求sinβ的值.
考點:平面向量數(shù)量積的運算
專題:三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由
a
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=
3
2
,且α-β∈(-
π
2
,0),求出α-β的值;
(Ⅱ)由|
a
-
b
|=
10
5
,|
a
|=|
b
|=1,求出cos(α-β),sin(α-β)的值;又α=
π
3
,得出sinβ的值.
解答: 解:(Ⅰ)∵
a
=(cosα,sinα),
b
=(cosβ,sinβ),
a
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=
3
2

∵α-β∈(-
π
2
,0),
∴α-β=-
π
6
;
(Ⅱ)∵|
a
-
b
|=
10
5
,|
a
|=|
b
|=1,
|
a
-
b
|
2
=2-2
a
b
=(
10
5
)
2
=
2
5

a
b
=
4
5
=cos(α-β),
∴sin(α-β)=-
3
5
,
∵α=
π
3
,
∴cos(
π
3
-β)=
4
5
,sin(
π
3
-β)=-
3
5
,
∴sinβ=sin[
π
3
-(
π
3
-β)]=
3
2
×
4
5
-
1
2
×(-
3
5
)=
3+4
3
10
點評:本題考查了平面向量的應(yīng)用以及三角函數(shù)求值的問題,解題時應(yīng)熟練地應(yīng)用平面向量的運算法則和三角函數(shù)的公式化簡、求值,是綜合題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知動點P(x,y)(y≤0)到點F(0,2)的距離為d1,到x軸的距離為d2,且d1-d2=2.
(Ⅰ)求點P的軌跡E的方程;
(Ⅱ)若直線l斜率為1且過點(1,0),其與軌跡E交于點M、N,求|MN|的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD,PD⊥面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AD=
2
,CD=4,PD=2,E為AP上一點,DE⊥AP,F(xiàn)是平面DEC與BP的交點.
(Ⅰ)求證:EF∥AB;
(Ⅱ)求證:AP⊥面EFCD;
(Ⅲ)求PC與面EFCD所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,
an-an+1
an+1
=n,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=
2n
an
,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn
(3)證明:a12+a22+a32+…+an2<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出一個正五棱柱.
(Ⅰ)用3種顏色給其10個頂點染色,要求各側(cè)棱的兩個端點不同色,有幾種染色方案?
(Ⅱ)以其10個頂點為頂點的四面體共有幾個?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本.經(jīng)統(tǒng)計,得到下列關(guān)于產(chǎn)品重量的樣本頻數(shù)分布表:
甲流水線
產(chǎn)品重量(單位:克)
頻數(shù)
(490,495] 2
(495,500] 12
(500,505] 18
(505,510] 6
(510,515] 2
乙流水線
產(chǎn)品重量(單位:克)
頻數(shù)
(490,495] 6
(495,500] 8
(500,505] 14
(505,510] 8
(510,515] 4
已知產(chǎn)品的重量合格標(biāo)準(zhǔn)為:重量值(單位:克)落在(495,510]內(nèi)的產(chǎn)品為合格品;否則為不合格品.
(Ⅰ)從甲流水線樣本的合格品中任意取2件,求重量值落在(505,510]的產(chǎn)品件數(shù)X的分布列;
(Ⅱ)從乙流水線中任取2件產(chǎn)品,試根據(jù)樣本估計總體的思想,求其中合格品的件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)從甲、乙流水線中各取2件產(chǎn)品,用ξ表示“甲流水線合格品數(shù)與乙流水線合格品數(shù)的差的絕對值”,并用A表示事件“關(guān)于x的一元二次方程2x2+2ξx+ξ=0沒有實數(shù)解”. 試根據(jù)樣本估計總體的思想,求事件A的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-
1
3
x3+
a
2
x2-2x,g(x)=
1
3
x3-
a
2
x2+(a+2)x+
a+1
x
-lnx,(a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a=3時,x∈[
3
2
,2],求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)當(dāng)a≥-1時,討論函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若過點(0,-
1
3
)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

4
0
16-x2
dx=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B是拋物線y2=4x上兩點,F(xiàn)是拋物線的焦點,O是平面直角坐標(biāo)系的原點,若S△AOF•S△BOF=1,則
OA
OB
=
 

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