Question

在△ABC中a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，已知：C=

π

3

，a+b=λc（其中λ＞1）
（1）當(dāng)λ=2時(shí)，證明：a=b=c；
（2）若

AC

•

BC

=λ³，求邊長(zhǎng)c的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：綜合題,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用正弦定理，可得sinB+sin(

2

3

π-B)=

3

，求出B，即可證明：a=b=c；
（2）

AC

•

BC

=λ³，ab=2λ³，再由a+b=λc可得c的關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)，即可求邊長(zhǎng)c的最小值．

解答： （1）證明：∵a+b=λc，由正弦定理得，sinA+sinB=λsinC=

3

，
∴sinB+sin(

2

3

π-B)=

3

，化簡(jiǎn)得：sin(B+

π

6

)=1，∴B=

π

3

，
∴△ABC為正三角形，∴a=b=c．…（5分）
（2）解：由余弦定理得；c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又由

AC

•

BC

=λ3知：ab=2λ³，再由a+b=λc可得：c2=λ2c2-6λ3⇒c2=

6λ3

λ2-1

，
設(shè)f(λ)=

6λ3

λ2-1

(λ＞1)，下面求f（λ）的最值．
求導(dǎo)函數(shù)：f′(λ)=

6λ2(λ+ 3 )(λ- 3 )

(λ2-1)2

，
當(dāng)f'（λ）=0時(shí)，解得λ=

3

，其中λ=0，λ=-

3

舍去．
由于當(dāng)1＜λ＜

3

時(shí)，f'（λ）＜0；當(dāng)λ＞

3

時(shí)f'（λ）＞0，
故f（λ）在(1，

3

)上時(shí)減函數(shù)，在(

3

，+∞)上是增函數(shù)，
因此當(dāng)λ=

3

時(shí)，f（λ）取極小值，又在（1，+∞）上f（λ）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以當(dāng)λ=

3

時(shí)，f（λ）取到最小值．f(λ)min=f(

3

)=9

3

，
于是在△ABC中邊長(zhǎng)c存在最小值，不存在最大值，其最小值為cmin=

f(λ)min

=3

4	3

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．