Question

一名箭手進(jìn)行射箭訓(xùn)練，箭手連續(xù)射2支箭，已知射手每只箭射中10環(huán)的概率是

1

4

，射中9環(huán)的概率是

1

4

，射中8環(huán)的概率是

1

2

，假設(shè)每次射箭結(jié)果互相獨(dú)立．
（1）求該射手兩次射中的總環(huán)數(shù)為18環(huán)的概率；
（2）設(shè)該箭手兩次射中的總環(huán)數(shù)為ζ，求ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意知運(yùn)動(dòng)員兩次射擊是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中18環(huán)的概率．
（2）該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)記為ξ，確定ξ的可能取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列和期望．

解答： 解：（1）由題意知箭手兩次射擊是相互獨(dú)立的，
根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到該射手兩次射中的總環(huán)數(shù)為18環(huán)的概率為

1

16

+

1

4

•

1

2

=

3

16

；
（2）ξ的可能取值為20、18、16、19、17
P（ξ=20）=

1

16

；P（ξ=18）=

3

16

；P（ξ=16）=

1

4

；P（ξ=19）=

1

16

；P（ξ=17）=

1

8

∴ξ的分布列為

ξ	20	18	16	19	17
P	1 16	3 16	1 4	1 16	1 8

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=20×

1

16

+18×

3

16

+16×

1

4

+19×

1

16

+17×

1

8

=

191

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，是一個(gè)綜合題，這類問(wèn)題的解法實(shí)際上不困難，只要注意解題的步驟就可以．