對于函數(shù)y=f(x),如果存在正實數(shù)n,使f(x)在[-n,n]上的值域為[0,n],則稱f(x)為“n矩函數(shù)“.例如y=x2是“1矩函數(shù)”,y=
1
2
x+
3
4
是“
3
2
矩函數(shù)”.
(1)指出下列函數(shù)是否為“n矩函數(shù)”,若是,請寫出正實數(shù)n的值組合的集合;
①y=
1
x
;②y=-
1
2
x+1
;③y=|x|.
(2)設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,
4
3
),且g(x)=f(|x-c|)-1是“3矩函數(shù)”,求實數(shù)c的值.
(3)如果對于(2)中函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x),當n∈N*,函數(shù)hn(x)=f-1
an+x
bn-x
)(其中an>0且bn>0)是“n矩函數(shù)”,①請根據(jù)n=1時,hn(x)是“1矩函數(shù)”,求a1和b1的值并寫出h1(x)的解析式.
考點:對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
專題:計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由n矩函數(shù)的定義對三個函數(shù)依次判斷并求正實數(shù)n的值組合的集合;
(2)易求f(x)=(
4
3
x,從而得到g(x)=(
4
3
|x-c|-1,再由g(x)是3矩函數(shù),代入求解;
(3)由f(x)=(
4
3
x得f-1(x)=log
4
3
x,從而得到hn(x)=f-1
an+x
bn-x
)=log
4
3
an+x
bn-x
,故可化為h1(x)=log
4
3
a1+x
b1-x
是“1矩函數(shù)”,從而由定義求解.
解答: 解:(1)①y=
1
x
不是n矩函數(shù);
②∵y=-
1
2
x+1在[-n,n]上遞減,
∴y的最小值=-
1
2
n+1=0,
∴n=2,
故y=-
1
2
x+1 是n矩函數(shù),{2};
③對任意n>0,y=|x|=
-x,x∈[-n,0]
x,x∈(0,n]
,
分段判斷y的取值范圍,
當x∈[-n,0]時,y∈[0,n];
當x∈(0,n]時,y∈(0,n],
∴當x∈[-n,n]時,y∈[0,n],
∴y=|x|是n矩函數(shù),n集合為{n>0;
(2)易求f(x)=(
4
3
x,
∴g(x)=(
4
3
|x-c|-1,
∵g(x)是3矩函數(shù),
∴g(x)在[-3,3]上的值域為[0,3],
由于|x-c|≥0,故當x=c時,g(x)有最小值=g(c)=0,
∴c∈[-3,3],
∵-3≤x≤3,
∴-3-c≤x-c≤3-c,
∴|x-c|≤max{|3-c|,|-3-c|},
∴當c>0時,g(x)的最大值=g(|-3-c|)=(
4
3
3-1≠3,與已知矛盾;
當c≤0時,g(x)的最大值=g(|3-c|)=3,解得c=
3
2
-log
4
3
2或c=
3
2
+log
4
3
2(舍去),
故c=
3
2
-log
4
3
2;
(3)f(x)=(
4
3
x,
∴f-1(x)=log
4
3
x,
∴hn(x)=f-1
an+x
bn-x
)=log
4
3
an+x
bn-x
,
若h1(x)=log
4
3
a1+x
b1-x
是“1矩函數(shù)”,
其定義域為:{x|-a1<x<b1},
a1+x
b1-x
=
a1+b1
b1-x
-1
是單調(diào)遞增函數(shù),
又∵log
4
3
x也是遞增函數(shù),
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,h1(x)也是遞增函數(shù);
∴h1(x)min=h1(-1)=0,h1(x)max=h1(1)=1;
a1-1
b1+1
=1,
a1+1
b1-1
=
4
3
;
解得,a1=15,b1=13.
故h1(x)=log
4
3
15+x
13-x
點評:本題考查了學(xué)生對新定義的接受與應(yīng)用能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)P是函數(shù)y=lnx圖象上的動點,則點P到直線y=x的距離的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C1
x=-4+cost
y=3+sint
(t為參數(shù),C2
x=6cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù)).
(Ⅰ)C1、C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(Ⅱ)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)t=
π
2
,Q為C2上的動點,求PQ中點M到直線C3
x=-3
3
+
3
t
y=-3-t
(t為參數(shù))距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若以點F1(-2,0)、F2(2,0)為焦點的雙曲線C過直線l:x+y-1=0上一點M,則能使所作雙曲線C的實軸長最長時的雙曲線方程為( 。
A、x2-
y2
3
=1
B、
x2
2
-
y2
2
=1
C、
x2
7
2
-
y2
1
2
=1
D、
x2
5
2
-
y2
3
2
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,設(shè)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=45°,C=120°,b=2,則c=(  )
A、1
B、
2
C、2
D、
6

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對?x1,x2∈(0,
π
2
),若x2>x1,且y1=
1+sinx1
x1
,y2=
1+sinx2
x2
,則( 。
A、y1=y2
B、y1>y2
C、y1<y2
D、y1,y2的大小關(guān)系不能確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3),x1,x2,x3∈R,且x1<x2<x3
(Ⅰ)當x1=0,x2=1,x3=2時,若方程f(x)=mx恰存在兩個相等的實數(shù)根,求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)求證:方程f′(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根;
(Ⅲ)若方程f'(x)=0的兩個實數(shù)根是α,β(α<β),試比較
x1+x2
2
與α,β的大小并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在xOy平面內(nèi)的直線x+y=1上確定一點M,則M到空間直角坐標系Oxyz的點N(2,3,1)的最小距離為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=
3
x,它的一個焦點在拋物線y2=48x的準線上,則雙曲線的方程為(  )
A、
x2
36
-
y2
108
=1
B、
x2
108
-
y2
36
=1
C、
x2
9
-
y2
27
=1
D、
x2
27
-
y2
9
=1

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