【題目】在△ABC中,A,B,C的對邊分別是a,b,c,3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,且c<2a.
(1)求證:△ABC為等腰三角形
(2)若△ABC的面積為8 .且sinB= ,求BC邊上的中線長.
【答案】
(1)解:∵在△ABC中3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,
∴由正弦定理可得3c2+8a2=11ac,
分解因式可得(c﹣a)(3c﹣8a)=0
解得c=a或c= ,由c<2a可得c=a,
故△ABC為等腰三角形;
(2)解:∵△ABC的面積為8 ,且sinB= ,
∴8 = a2 ,解得a=c=8,
由同角三角函數(shù)基本關系可得cosB=± =±
設BC邊上的中線長為x,當cosB= 時,
由余弦定理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=64,x=8;
當cosB=﹣ 時,同理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=96,x=4
【解析】(1)由已知式子和正弦定理可得3c2+8a2=11ac,分解因式結合題意可得c=a,可得△ABC為等腰三角形;(2)由題意和三角形的面積公式可得a=c=8,由同角三角函數(shù)基本關系可得cosB,利用余弦定理可得.
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知正弦定理:;余弦定理:;;.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3.D是線段BC的中點.
(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)= (a>0),設F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函數(shù)F(x)的單調區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=F(x)(x∈(0,3])圖像上任意一點P(x0,y0)處的切線的斜率k≤恒成立,求實數(shù)a的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+2(x2-3).
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)y=f(x)的極值.
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【題目】(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx(a>0).
(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)的單調區(qū)間;
(3)若f(x)≤0在區(qū)間[1,e]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某學校高三年級有學生1 000名,經(jīng)調查,其中750名同學經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為A類同學),另外250名同學不經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為B類同學),現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該年級的學生中共抽查100名同學,如果以身高達165 cm作為達標的標準,對抽取的100名學生,得到以下列聯(lián)表:
身高達標 | 身高不達標 | 總計 | |
經(jīng)常參加體育鍛煉 | 40 | ||
不經(jīng)常參加體育鍛煉 | 15 | ||
總計 | 100 |
(1)完成上表;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標有關系(K2的觀測值精確到0.001)?
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【題目】已知數(shù)據(jù)a1,a2,…,an的平均數(shù)為a,方差為s2,則數(shù)據(jù)2a1,2a2,…,2an的平均數(shù)和方差分別為( )
A. a,s2 B. 2a,s2
C. 2a,2s2 D. 2a,4s2
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