Question

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）＝x2－2（a＋1）x＋2alnx（a>0）．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若f（x）≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝－3；

（2）當(dāng)0<a<1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a）和（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1）；當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，＋∞）；當(dāng)a>1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和（a，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a）．

（3）a≥．

【解析】

試題分析：（1）求出a=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)即此時(shí)切線的斜率，然后由點(diǎn)斜式求出切線方程即可；（2）對(duì)于含參數(shù)的單調(diào)性問題的關(guān)鍵時(shí)如何分類討論，常以導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)的根與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后分別求每一種情況時(shí)的單調(diào)性；（3）恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值計(jì)算問題，結(jié)合本題實(shí)際并由第二問可知，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點(diǎn)，所以只需令區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于等于零求解即可。

試題解析：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x2－4x＋2lnx，

∴f ′（x）＝（x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切線方程為y＝－3．

（2）f ′（x）＝（x>0），

令f ′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，

當(dāng)0<a<1時(shí)，在x∈（0，a）或x∈（1，＋∞）時(shí)，f ′（x）>0，在x∈（a，1）時(shí)，f ′（x）<0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a）和（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1）；當(dāng)a＝1時(shí)，f ′（x）＝≥0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，＋∞）；當(dāng)a>1時(shí)，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）時(shí)，f ′（x）>0，在x∈（1，a）時(shí)，f ′（x）<0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和（a，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a）．

（3）由（2）可知，f（x）在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點(diǎn)，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值必在區(qū)間端點(diǎn)取到，∴f（1）＝1－2（a＋1）≤0且f（e）＝e2－2（a＋1）e＋2a≤0，解得a≥．