Question

已知函數(shù)f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx，x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）最小值
（2）求f（x）的單減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先對(duì)三角關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，進(jìn)一步求出正弦型函數(shù)的關(guān)系式，最后利用三角函數(shù)的定義域求出三角函數(shù)的值域．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx=4

3

cos2x-2sin2x+

3

=4cos（2x+

π

6

）+3

3

由于

π

4

＜x＜

π

2

則：

2π

3

＜2x+

π

6

＜

7π

6

則：-1≤cos(2x+

π

6

)＜-

1

2

進(jìn)一步求出：3

3

-4≤4cos(2x+

π

6

)+3

3

＜3

3

-2
即：3

3

-4≤f(x)＜3

3

-2
所以函數(shù)f(x)min=3

3

-4
（2）利用（1）f（x）=4cos（2x+

π

6

）+3

3

令：2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π（k∈Z）
解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．