己知圓C:x2+(y-2)2=5,直線l:mx-y+1=0.
(1)求證:對m∈R,直線l與該圓C總有兩個不同交點;
(2)設(shè)直線l與圓C交與A、B兩點,且|AB|=
19
,求該直線的斜率;
(3)求弦AB的中點M的軌跡方程.
考點:軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系
專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)只要證明圓心C到直線l的距離d<r即可;
(2)利用d2+(
1
2
|AB|)2
=r2,解出即可;
(3)設(shè)弦AB的中點M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).直線l的方程與圓的方程聯(lián)立可得(1+m2)x2-2mx-4=0,可得x1+x2=
2m
1+m2
=2x,得到x=
m
1+m2
,
又y=mx+1,消去m即可得出.
解答: (1)證明:圓C:x2+(y-2)2=5,可得圓心C(0,2),半徑r=
5
.∴圓心C到直線l的距離d=
|-2+1|
m2+1
≤1
5
=r,因此對m∈R,直線l與該圓C總有兩個不同交點.
(2)解:∵d2+(
1
2
|AB|)2
=r2,∴
1
m2+1
+
19
4
=5,解得m2=3,∴m=±
3

∴該直線的斜率k=±
3

(3)解:設(shè)弦AB的中點M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
mx-y+1=0
x2+(y-2)2=5
,化為(1+m2)x2-2mx-4=0,
可得x1+x2=
2m
1+m2
=2x,得到x=
m
1+m2
,
又y=mx+1,∴m=
y-1
x
(x≠0)
,代入上述方程可得x=
y-1
x
1+(
y-1
x
)2
,化為x2+(y-
3
2
)2=
1
4
,x=0時也滿足.
∴弦AB的中點M的軌跡方程為x2+(y-
3
2
)2=
1
4
點評:本題考查了直線與圓相交問題、點到直線的距離公式、弦長公式、參數(shù)方程,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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用數(shù)學歸納法證明:
2
3
4
5
6
7
2n
2n+1
1
n+1

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1-cos2θ
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C、(1,3)
D、[1,3]

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已知函數(shù)f(x)=5
3
cos2x+
3
sin2x-4sinxcosx,x∈[
π
4
,
π
2
]
(1)求f(x)最小值
(2)求f(x)的單減區(qū)間.

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已知在平面直角坐標系xOy中,直線的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
t
(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為
x=2+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)).
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