Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3x}^{2}+2ax-a-6，x＜0}\\{{3x}^{2}-（a+3）x+a，x≥0}\end{array}\right.$
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a≤1且存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），求證：-$\frac{2}{3}$≤x₁+x₂+x₃＜0．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的解析式，分別求得x＜0和x≥0時(shí)的最小值，即可得到；
（2）先作出-3≤a≤0時(shí)f（x）的圖象，分別判斷x＜0和x≥0時(shí)的單調(diào)性，不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則有x₂+x₃=2×$\frac{a+3}{6}$=$\frac{a+3}{3}$，即有x₁+x₂+x₃=x₁+$\frac{a+3}{3}$，再由x=0時(shí)的函數(shù)值，解方程可得小于0的x₁，再由a的范圍，得到[-3，0]的范圍，同樣的方法，再討論當(dāng)0＜a≤1時(shí)，x₁+x₂+x₃的范圍，最后求并集即可得證．

解答 （1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+2x-7，x＜0}\\{3{x}^{2}-4x+1，x≥0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜0時(shí)，y=3x²+2x-7=3（x+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{22}{3}$，在x=-$\frac{1}{3}$時(shí)取得最小值，
且為-$\frac{22}{3}$；
當(dāng)x≥0時(shí)，y=3x²-4x+1=3（x+$\frac{2}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，在[0，+∞）遞增，則x=0時(shí)，取得最小值，且為1．
綜上可得f（x）的最小值為-$\frac{22}{3}$．
（2）證明：當(dāng)a＜-3時(shí)，函數(shù)在x＜0遞減，x＞0遞增，不可能有3個(gè)實(shí)數(shù)解；
作出-3≤a≤0時(shí)f（x）的圖象，如右．
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）遞減，x≥0時(shí)，在[0，$\frac{a+3}{6}$）遞減，
在（ $\frac{a+3}{6}$，+∞）遞增，
不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，則有x₂+x₃=2×$\frac{a+3}{6}$=$\frac{a+3}{3}$，
即有x₁+x₂+x₃=x₁+$\frac{a+3}{3}$，
令x=0時(shí)，f（0）=a，
令f（x₁）=a，（x₁＜0），
則有3x²+2ax-2a-6=0，
解得x=$\frac{-2a±\sqrt{4（{a}^{2}+6a+18）}}{6}$=$\frac{-a±\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
由于-3≤a≤0，則x₁=$\frac{-a-\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
即有x₁+x₂+x₃=1-$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
由-3≤a≤0，則（a+3）²+9∈[9，18]，
則有$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$∈[1，$\sqrt{2}$]，
即有1-$\sqrt{2}≤$x₁+x₂+x₃＜0；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由x₁+x₂+x₃=1-$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$，
可得（a+3）²+9∈（18，25]，
則有$\frac{\sqrt{（a+3）^{2}+9}}{3}$∈（$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]，
即有-$\frac{2}{3}$≤x₁+x₂+x₃＜1-$\sqrt{2}$．
則有-$\frac{2}{3}$≤x₁+x₂+x₃＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，同時(shí)考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，通過圖象觀察得到交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵