Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）將y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得（a²-3）x²+2ax+2=0，由題意知a²-3≠0，且△=4a²+8（3-a²）＞0，由此能求出a的取值范圍．
（2）設(shè)交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2a

a2-3

，x₁x₂=

2

a2-3

，y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1，由已知得OA⊥OB，由此求出a=±1．
（3）若A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x對(duì)稱，則直線y=

1

2

x垂直AB，且AO=BO，由此能推導(dǎo)出存在實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x對(duì)稱．

解答： 解：（1）將y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得
3x²-（ax+1）²=1，整理，
（a²-3）x²+2ax+2=0，
∵直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B點(diǎn)，
∴a²-3≠0，且△=4a²+8（3-a²）＞0，得：a²＜6，且a≠±

3

，
∴a的取值范圍是{a||-

6

＜a＜

6

，且a≠±

3

}．
（2）設(shè)交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

2a

a2-3

，x₁x₂=

2

a2-3

，
∴y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1
∵以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)∴OA⊥OB，
故OA與OB的斜率的乘積為-1．
∴x₁x₂=-y₁y₂，即

2

a2-3

=-1，
解得a=±1．
（3）若A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x對(duì)稱，
則直線y=

1

2

x垂直AB，且AO=BO，
由直線y=

1

2

x垂直AB得出a=-2，
∴x₁x₂=2，x₁+x₂=4，
y₁y₂=1，y₁+y₂=-6，
∴AB中點(diǎn)為（2，-3），且不在y=

1

2

x上，
所以a=-2不成立，
綜上：不存在實(shí)數(shù)a，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=

1

2

x對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．