Question

拋物線C₁：x²=4y在點A，B處的切線垂直相交于點P，直線AB與橢圓C₂：

x2

4

+

y2

2

=1相交于C，D兩點．
（1）求拋物線C₁的焦點F與橢圓C₂的左焦點F₁的距離；
（2）設點P到直線AB的距離為d，試問：是否存在直線AB，使得|AB|，d，|CD|成等比數(shù)列？若存在，求直線AB的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）確定求拋物線C₁的焦點F、橢圓C₂的左焦點F₁的坐標，即可求拋物線C₁的焦點F與橢圓C₂的左焦點F₁的距離；
（Ⅱ）設直線AB：y=kx+m，與拋物線方程聯(lián)立，說明直線AB過拋物線C₁的焦點F，再求出P的坐標，可得點P（2k，-1）到直線AB：kx-y+1=0的距離，從而求出|CD|，再求出|AB|，利用|AB|，d，|CD|成等比數(shù)列，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）拋物線C₁的焦點F（0，1），…（1分）
橢圓C₂的左焦點F1(-

2

，0)，…（2分）
則|FF1|=

3

．                                                    …（3分）
（II）設直線AB：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

y=kx+m x2=4y

，得x²-4kx-4m=0，…（4分）
故x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m．
由x²=4y，得y′=

x

2

，
故切線PA，PB的斜率分別為kPA=

x1

2

，kPB=

x2

2

，
再由PA⊥PB，得k_PAk_PB=-1，即

x1

2

•

x2

2

=

x1x2

4

=

-4m

4

=-m=-1，
故m=1，這說明直線AB過拋物線C₁的焦點F．                         …（7分）
由

y= x1 2 x- x12 4 y= x2 2 x- x22 4

，得x=

x1+x2

2

=2k，
y=

x1

2

•2k-

x12

4

=kx1-

x12

4

=

x1+x2

4

•x1-

x12

4

=

x1x2

4

=-1，
即P（2k，-1）．  …（8分）
于是點P（2k，-1）到直線AB：kx-y+1=0的距離d=

2k2+2

1+k2

=2

1+k2

．…（9分）
由

y=kx+1 x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，…（10分）
從而|CD|=

1+k2

(4k)2-4(1+2k2)•(-2)

1+2k2

=

1+k2

8(1+4k2)

1+2k2

，…（11分）
同理，|AB|=4（1+k²）．                                       …（12分）
若|AB|，d，|CD|成等比數(shù)列，則d²=|AB|•|CD|，…（13分）
即(2

1+k2

)2=4(1+k2)•

1+k2

8(1+4k2)

1+2k2

，
化簡整理，得28k⁴+36k²+7=0，此方程無實根，
所以不存在直線AB，使得|AB|，d，|CD|成等比數(shù)列．  …（15分）

點評：本題考查橢圓、拋物線的性質(zhì)，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．