Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線L：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且k_OA•k_OB=-

b2

a2

，求證：△AOB的面積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率等于

1

2

，原點(diǎn)O到直線x-y+

6

=0的距離等于b及隱含條件c²=a²-b²聯(lián)立方程組求解a²，b²的值，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的和與積，由弦長公式求得|AB|，由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到AB的距離，代入三角形的面積公式證得答案．

解答： （Ⅰ）解：由題意得

c a = 1 2 c2=a2-b2 b= |0-0+ 6 | 2

⇒a²=4，b²=3．
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則A，B的坐標(biāo)滿足

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

，消去y化簡得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•

4m2-12

3+4k2

+km•(-

8km

3+4k2

)+m2=

3m2-12k2

3+4k2

．
∵kOA•kOB=-

b2

a2

=-

3

4

，
∴

y1y2

x1x2

=-

3

4

，即y1y2=-

3

4

x1x2．
∴

3m2-12k2

3+4k2

=-

3

4

•

4m2-12

3+4k2

，即2m²-4k²=3．
∵|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)• 48(4k2-m2+3) (3+4k2)2

=

48(1+k2) (3+4k2)2 • 3+4k2 2

=

24(1+k2) 3+4k2

．
又O點(diǎn)到直線y=kx+m的距離d=

|m|

1+k2

，
∴S△AOB=

1

2

d|AB|=

1

2

|m|

1+k2

24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

m2 1+k2 • 24(1+k2) 3+4k2

=

1

2

3+4k2 2 • 24 3+4k2

=

3

為定值．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，這是處理這類問題的最為常用的方法，考查了弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式，是高考試卷中的壓軸題．